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STT 3220: Méthodes de prévision
Devoir 3
Hiver 2015
(1) (13 points) On herhe à modéliser des mesures de poussière dans l'air dans le entre-ville
de Montréal. Une mesure est prise durant le jour, et une autre durant la nuit. On suppose
que la série hronologique X1 ; : : : ; X2n est générée selon le proessus
Xt
= t + at
t at 1 ; t
2 Z;
où fat g est un bruit blan BB(0, a2 ). On suppose que:
t
=
et aussi que
t
P
=
(
1 ; t
2 ;
(
1 ; t
2 ;
impair;
t pair;
impair;
t pair:
P
Posons X 1 = n 1 ni=1 X2i 1 et X 2 = n 1 ni=1 X2i . Ainsi, X1 et X 2 sont simplement les
moyennes éhantillonnales des n observations avee indies impairs et pairs, respetivement.
a) (2 points) Est-e que le proessus fXt g est stationnaire?
b) (2 points) Interpréter les paramètres t et t , t = 1; 2.
b) (4 points) Caluler de manière exate var(X 1 X 2 ).
) (5 points) Pour tester H0 : 1 = 2 ontre H1 : 1 6= 2 , un test lassique onsiste à
rejeter H0 si X 1 X 2 > où est une ertaine valeur ritique. Supposons que fat g
est un bruit blan Gaussien BB(0, 4). Pour n = 10 et X 1 = 15:1, X 2 = 12:9, omparer le niveau ritique obtenu sous l'hypothèse d'indépendane à eux orrespondant
à (1 ; 2 ) = ( 0:3; 0:4) et (1 ; 2 ) = (0:3; 0:4), respetivement. Que onluez-vous?
(2) (10 points) Considérons le modèle ARIMA suivant:
Xt
= at + at
2;
t
2 Z;
a) (2 points) Identier le modèle en utilisant la notation des modèles SARIMA, ARIMA(p; d; q)
(P; D; Q)s .
b) (4 points) Montrer que le modèle est inversible si jj < 1 et trouver les poids- de la
représentation inversible.
) (4 points) Développer des prévisions fontion des données passées, pour horizon 1,. . . ,12.
Trouver les bandes de prévision.
1
2
(3) (12 points) Déterminer si les proessus ARMA suivants sont stationnaires et inversibles.
Dans haque as fat g est un bruit blan.
a) Xt = 0:80Xt 1 0:15Xt 2 + at 0:30at 1 .
b) Xt = Xt 1 0:50Xt 2 + at at 1 .
) Xt + 1:6Xt 1 + 0:64Xt 2 = at .
d) Xt 0:40Xt 1 0:45Xt 2 = at .
e) Xt + 1:6Xt 1 = at 0:4at 1 + 0:04at 2 .
f) Xt 1:20Xt 1 + 0:85Xt 2 = at .
(4) (65 points) Dans e projet de n de session, onsidérer une série hronologique saisonnière provenant de CANSIM, de votre hoix. Vous devez lairement indiquer le numéro
d'identiation de la série. Considérer l'ajustement de ette série ave la méthodologie des
modèles ARIMA. Votre série, transformée pour devenir stationnaire, ne doit pas se réduire
à un bruit blan pour éviter les trivialités. Proédez exatement omme dans les analyses
préédentes, en onsidérant un maximum de 112 données, et tronquer les 12 plus réentes.
Dans le as des données annuelles, tronquer par exemple la dernière année. Utiliser SAS
an de répondre aux points suivants:
a) Est-e que la série doit être transformée?
b) Choix du degré de diérentiation.
) Statistiques diagnostis et autres diagnostis (tests d'ajustement, ACF et PACF des
résidus).
d) Évaluation de la performane prévisionnelle de votre modèle.
e) Calul des intervalles de prévision.
Représenter graphiquement votre série hronologique. Représenter également graphiquement les prévisions et les bornes de prévision. Fournissez les sorties et les programmes SAS
en annexe. Les ritères de orretion seront: (i) diulté de la série hronologique à analyser
(un modèle nal bruit blan, AR(1) ou MA(1) seraient des séries trop failes), (ii) démarhe
(méthodologie), (iii) qualité de la langue et présentation. Cette partie du travail doit être
eetuée en utilisant le traitement de texte de votre hoix (un rapport érit à la main se
voit attribuer la note 0 (zéro) pour ette question).
Date de remise:
9 avril 2015 (à remettre durant le ours; un retard entraîne la note 0).
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